سوالات یک میلیون دلاری

با این همه پیشرفت علم و فناوری، سوالات و مسائل حل‌نشده‌ای از قدیم در دنیای ریاضیات وجود دارد که باهوش‌ترین ریاضی‌دانان هم موفق به حل آنها نشده‌اند. این سوالات به‌ قدری مهم است که برای حل برخی از آنها جایزه یک‌میلیون دلاری در نظر گرفته شده‌ است.

کد خبر: ۵۵۳۹۸۲

تاریخ: ۱۹ آذر ۱۴۰۱ - ۲۳:۱۲

به گزارش ایران اکونومیست، روزنامه خراسان نوشت: «البته تمام مسائلی که در این مطلب به آنها اشاره می‌شود، به‌ویژه «مسائل جایزه هزاره»، برای افراد معمولی مطرح نشده‌اند و حتی توضیح و فهم آنها هم دشوار است، چه برسد به حل‌شان. ریاضی‌دانان با تمرکز بر این مسائل در واقع تلاش می‌کنند مسیری به‌ سمت آینده باز کنند و چه‌بسا راه‌ حل بسیاری از آنها نیازمند تکنیک‌هایی باشد که بشر قرن‌ها بعد به آنها دست یابد. به‌ همین دلیل حل این مسائل زمان‌دار نیست و هر زمانی که یک نفر بتواند حتی یکی از این مسائل دشوار را حل کند، پیشرفت‌های علمی سرعت بیشتری به خود می‌گیرند. این مسائل ریاضی در حقیقت به شکل‌گیری نظریه‌های جدید منجر خواهد شد و ارزش آنها هم در همین نهفته است.

مسائل ریاضی حل‌نشده اما به‌ظاهر آسان

شک نکنید هر مسئله ریاضی که تاکنون حل نشده‌، به‌هیچ‌وجه ساده نیست. حل این مسائل یا کلا غیر ممکن است یا با تکنیک‌های کنونی‌ قابل حل نیست. با این‌ حال در دنیای ریاضی مسائلی وجود دارد که ساده به‌ نظر می‌رسد؛ آن‌قدر ساده که هر کس با دانشی ابتدایی از ریاضی می‌تواند آنها را درک کند اما اثبات این مسائل به‌ قدری دشوار است که هیچ‌کس موفق به حل‌شان نشده‌ است.

در ادامه با فهرستی از مسائل به‌ظاهر ساده ریاضی که البته حل‌شان مشکل است، ‌آشنا خواهید شد.

بی‌نهایت‌بودن اعداد اول دوقلو

اعداد اول، اعدادی هستند که تنها بر خودشان و یک بخش‌پذیرند. تا آنجا که می‌دانیم، تعداد اعداد اول بی‌شمار است و ریاضی‌دانان سخت در تلاش برای یافتن بزرگ‌ترین عدد اول بعدی هستند اما تعدادی از اعداد اول هستند که حاصل تفریق آنها دو است، مثل ۴۱ و ۴۳. آیا تعداد این اعداد هم بی‌نهایت است؟ هرچه اعداد اول بزرگ‌تر می‌شوند، یافتن این دوقلوها سخت‌تر می‌شود اما از لحاظ تئوری این اعداد هم باید بی‌نهایت باشند. مشکل این‌جاست که هنوز هیچ‌کس نتوانسته این بی‌نهایت ‌بودن اعداد اول دوگانه را اثبات کند.

مسئله حرکت‌دادن مبل

بیشتر ما احتمالا هنگام اثاث‌کشی به خانه جدید با مشکل جابه‌جاکردن مبل و حرکت‌دادن آن از میان راهروهای تنگ و کنج دیوار روبه‌رو شده‌ایم. سوالی که برای ریاضی‌دانان پیش می‌آید،‌ این است: بزرگ‌ترین مبلی که صرف‌ نظر از شکل آن می‌توانید بدون خم‌کردنش، از گوشه دیواری با زاویه‌ ۹۰ درجه‌ عبور دهید، چه ابعادی دارد؟ جالب است بدانید بزرگ‌ترین حجمی که بتواند در کنج یک زاویه ۹۰ درجه جا شود، «ثابت ‌مبل» نامیده می‌شود. هیچکس به‌ طور دقیق نمی‌داند این عدد چقدر است اما مبل‌هایی هستند که در این زاویه جا می‌شوند و مبل‌هایی هستند که جا نمی‌شوند. برای همین می‌دانیم که این «ثابت»، باید چیزی بین ابعاد این دو حالت باشد. هم‌اکنون تنها چیزی که درباره‌ این مسئله می‌دانیم این است که ثابت مبل باید چیزی بین ۲٫۲۱۹۵ و ۲٫۸۲۸۴ باشد.

حدس کولاتز

این حدس یکی‌ از مشهورترین مسائل حل‌نشده‌ ریاضی است و از آن‌ جا که بسیار ساده به‌ نظر می‌رسد، می‌توانید آن را برای کودکان دبستانی توضیح دهید و آنها احتمالا آن‌ قدر از این مسئله خوش‌شان بیاید که بخواهند جوابی برایش بیابند. مسئله کولاتز به این صورت است: ابتدا یک عدد به‌ دلخواه انتخاب کنید. اگر این عدد زوج بود، آن را به دو تقسیم کنید و اگر فرد بود آن را در سه ضرب و سپس با یک جمع کنید. این مراحل را برای عدد جدید به‌دست‌آمده ادامه دهید. عددی که سرانجام به آن می‌رسید، همیشه یک خواهد بود. به‌ عنوان مثال اگر عدد انتخابی شش باشد، انجام این مراحل، این اعداد را نشان خواهدداد: ۶، ۳، ۱۰، ۵، ۱۶، ۸، ۴، ۲، ۱. ریاضی‌دانان میلیون‌ها عدد یافته‌اند که از این قاعده پیروی می‌کند اما مشکل اینجاست که هنوز نتوانسته‌اند عددی پیدا کنند که طبق این قاعده پیش نرود. احتمال دارد که عددی بسیار بزرگ که میل‌ به بی‌نهایت دارد یا عددی که در یک چرخه گیر کند، هرگز به یک نرسد ولی تا به‌ حال کسی نتوانسته این عدد را پیدا کند.

مسائل ریاضی حل‌نشده جایزه‌دار

مسائل «جایزه هزاره»، هفت مسئله ریاضی هستند که توسط «انجمن ریاضی کِلی» در سال ۲۰۰۰ و برای جشن‌گرفتن هزاره جدید مطرح شده‌اند. هر کسی که بتواند یکی از این مسائل را حل کند، برنده‌ یک‌میلیون دلار جایزه نقدی خواهدشد و حل‌کردن این مسائل تأثیرات بزرگی بر حوزه‌ مربوط یا حتی فراتر از آن خواهد داشت. از میان این هفت مسئله، «حدس پوانکاره» در سال ۲۰۰۳ توسط «گریگوری پرلمان»، ریاضی‌دان روسی، حل شد. البته او از قبول جایزه انجمن کلی و البته تمام جوایز و مدال‌های دیگر برای دستاوردهایش خودداری کرد. بیش از دو دهه از زمان مطرح‌شدن مسائل جایزه هزاره می‌گذرد و شش مسئله‌ دیگر همچنان حل‌نشده باقی مانده‌اند. در ادامه به توضیح این مسائل خواهیم پرداخت، شاید شما بتوانید آنها را حل کنید!

فرضیه ریمان

مهم‌ترین مسئله حل‌نشده در ریاضیات محض به «فرضیه ریمان» مشهور است. این مسئله را «برنهارت ریمان»، ریاضی‌دان آلمانی قرن نوزدهم مطرح کرده‌ است که آثارش در زمینه آنالیز و هندسه دیفرانسیل، پایه ریاضی نظریه‌ نسبیت عام شد. فرضیه ریمان از سال ۱۸۵۹ تاکنون حل‌نشده باقی مانده و به‌ قدری دشوار است که «دیوید هیلبرت»، از تأثیرگذارترین ریاضی‌دانان در پیدایش و گسترش مکانیک کوانتومی و نظریه نسبیت، درباره‌ آن می‌گوید: «اگر قرار بود بعد از هزار سال از خواب بیدار شوم، اولین سوالی که می‌پرسیدم این بود: آیا فرضیه ریمان اثبات شده است؟»

فرضیه ریمان در واقع از شما می‌خواهد اثبات کنید تابع زتای ریمان در چه شرایطی برابر با صفر است.

این تابع در ظاهر ساده به‌ نظر می‌رسد اما پیچیدگی آن روی نمودار ظاهر می‌شود. برای مثال به نمودار | (ζ (1/2+iy| (محور عمودی) به‌ عنوان تابعی از y (محور افقی) نگاه کنید. همان‌طور که می‌بینید، تابع زتا برای مقادیر ۱۴، ۲۱، ۲۵ و تا ‌آخر روی محور افقی، به صفر نزدیک می‌شود. به این‌ها صفرهای تابع زتا می‌گویند و از اهمیت بسیاری برخوردارند؛ چراکه رفتارشان هیجان‌انگیز است. فرضیه ریمان هم در واقع گزاره‌ای درباره نحوه توزیع این صفرهاست. ریمان می‌گوید تابع زتا تنها زمانی به صفر می‌رسد که با اعداد صحیح زوج منفی و اعداد مختلط با قسمت واقعی ۱/۲ سروکار داشته‌ باشیم. مشکل اینجاست که اگر چه بیش از ۲۵۰میلیون صفر این فرضیه را اثبات کرده‌اند، هنوز ثابت نشده که این موضوع برای تمام صفرها صدق می‌کند!

فرضیه ریمان از این حیث بسیار مهم است که اعداد اول (که فقط بر یک و خودشان تقسیم‌پذیرند) اساسی‌ترین و اسرارآمیزترین مفهوم در ریاضیات هستند. وقتی اعداد اول را به‌ صورت مجموعه خطی پشت سر هم می‌نویسیم، هیچ الگویی در نحوه توزیع آنها ظاهر نمی‌شود و به‌ همین علت نمی‌توانیم تمام اعداد اول را پیش‌بینی کنیم اما وقتی این اعداد را به کمک تابع زتای ریمان روی نمودار می‌آوریم، الگوی جالبی از صفرهای ریمان روی آن ظاهر می‌شود که اگر بتوانیم آن را برای تمام اعداد ثابت می‌کنیم، آن‌وقت می‌توانیم بگوییم الگوی پنهان توزیع اعداد اول را سرانجام کشف کرده‌ایم. به این‌ترتیب می‌توانیم با دقت بسیار بالا تعداد اعداد اول در هر بازه معینی را تعیین کنیم.

شاید بپرسید داشتن تابعی برای تعریف اعداد اول اصلا چه اهمیتی دارد؟ بسیاری از ریاضی‌دانان، اعداد اول را به‌ عنوان اتم‌های تشکیل‌دهنده‌ تمام اعداد دیگر می‌بینند چون می‌توانید با استفاده از اعداد اول به هر عددی برسید. در فرضیه ریمان، دامنه‌ای که روی خط عددی از مقادیری ایجاد می‌شود که تابع زتا را صفر می‌کند، همانند فواصل بین سطوح انرژی در سیستم‌های کوانتومی است و این یعنی نوعی رابطه بین اجزای سازنده اعداد با اعداد اول و اجزای سازنده ماده با اتم وجود دارد و حل این فرضیه ما را به درک جدیدی از ماده خواهد رساند.

حدس هاج

حدس هاج یکی از مسائل مهم حل‌نشده در هندسه جبری و هندسه مختلط است که چگونگی تشکیل ساختارهای پیچیده ریاضی از اجزای ساده را بررسی می‌کند و در واقع می‌کوشد این دو مفهوم مختلف ریاضی را به هم پیوند دهد. در قرن بیستم، ریاضی‌دانان روش مهمی برای مشاهده و بررسی اجسام پیچیده کشف کردند. به‌ این صورت که اجسامی را که به‌ طور فزاینده‌ای بزرگ‌تر می‌شدند، کنار هم قرار می‌دهند تا به نزدیک‌ترین شکل به جسم اصلی برسند. این تکنیک به‌قدری مفید بود که در بسیاری از حوزه‌های دیگر هم به‌ کار گرفته شد و در نهایت، اجسام پیچیده‌ای که ریاضی‌دانان به‌ این روش دسته‌بندی کردند، در اختراعات شگفت‌انگیزی به‌ کار رفتند. متأسفانه، از طریق این تعمیم‌ها، خاستگاه هندسی این فرآیند از بین رفت و تلاش بر این بود که این اجزا بدون فرمول و پشتوانه هندسی به هم پیوند داده شوند. حالا حدس هاج می‌پرسد آیا برای این مفهوم، رابط هندسی وجود دارد؟

معادلات ناویه - استوکس

این معادله یکی دیگر از مسائل جایزه هزاره است که به مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل مربوط می‌شود که حرکت سیالات تراکم‌پذیر را توصیف می‌کند. به‌ طور خلاصه، معادلات ناویه-استوکس رفتار سیالات را توصیف می‌کند. این معادله با اعمال قانون دوم نیوتن درباره سیالات به‌ دست می‌آید و پرواز هواپیماها، تولید برق، پیش‌بینی آب‌وهوا و حتی ساخت قایق و کشتی هم به آن وابسته است. حتی شرکت پویانمایی «پیکسار» هم از معادلات ناویه-استوکس برای پویانمایی آثار خود استفاده می‌کند. این معادلات اگر چه ساده به‌ نظر می‌رسند، در حالت سه‌بعدی به‌سرعت پیچیده می‌شوند. «چارلز ففرمن»، استاد دانشگاه پرینستون، می‌گوید: «می‌توانید حل معادلات ناویر-استوکس را نسبتا به‌سادگی و با اعتمادبه‌نفس بالا شروع کنید اما راه‌ حل‌ها ممکن است به‌ طرزی باورنکردنی‌ غیر قابل‌ پیش‌بینی باشند.»

گفته می‌شود اگر ریاضی‌دانان بتوانند پدیده ناویه-استوکس را از این حالت غیر قابل پیش‌بینی بیرون آورند، تغییرات شگرفی در زمینه دینامیک سیالات حاصل خواهد شد.

مسئله P در مقابل NP

p در مقابل NP مسئله حل‌نشده مهمی در علوم کامپیوتر است و می‌پرسد آیا هر مسئله‌ای که صحت جواب‌های آن را بتوان به‌سرعت ارزیابی کرد (NP)، به‌سرعت هم قابل حل‌شدن است (P)؟ این مسئله را «استیون کوک»، دانشمند کامپیوتر در سال ۱۹۷۱ مطرح کرد. بیایید برای فهم بهتر این مسئله یک مثال بزنیم. اگر به شما عددی را بدهند و بگویند این عدد از حاصل‌ ضرب کدام دو عدد اول به‌دست‌آمده‌ است، آیا می‌توانید به پاسخ درستی برسید؟ اگر این عدد کوچک باشد، جواب ساده است. مثلا ۱۵ از ضرب دو عدد ۵ و ۳ حاصل می‌شود اما اگر عدد مد نظر ما ۲۰۰ رقم داشته‌ باشد، سال‌ها زمان لازم است تا دو مضرب آن پیدا شود. حالا این سوال را برعکس کنیم؛ اگر به شما دو عدد اول بدهند و بگویند آیا از حاصل‌ ضرب این دو، عدد x حاصل می‌شود، پیداکردن جواب این سوال به‌راحتی انجام عملیات ضرب است. به‌ عبارت دیگر، شما با ضرب این دو عدد می‌توانید به‌سرعت صحت جواب را ارزیابی کنید اما همان‌طور که دیدید، برعکس این قضیه آن‌قدر زمان می‌برد که حل آن تقریبا ناممکن است. در حوزه علوم کامپیوتر، مسئله‌ای که جوابش به‌سرعت تعیین می‌شود، P و مسئله‌ای که صرفا صحت جواب‌های آن به‌سرعت تأیید می‌شود، NP نام دارد. در واقع، اینکه مسائل بتوانند به‌سرعت حل شوند، یا به زبان علوم کامپیوتر، زمان اجرای الگوریتم آنها «چندجمله‌ای» باشد، از اهمیت بسیاری برخوردار است؛ چراکه اگر حل مسئله‌ای بخواهد صدها یا هزاران سال طول بکشد، حل آن عملا ناممکن است.

چه کسی به ریاضی‌دان‌ها بها می‌دهد؟

ریاضی برای بعضی‌ها آن‌قدر هولناک است که حتی اگر بابت حل‌کردن ساده‌ترین مسائل پول هم دریافت کنند، حاضر نیستند برایش وقت بگذارند. بعضی‌ها هم مثل آقای «پرلمان» پیدا می‌شوند که ریاضی آن‌قدر به‌خودی‌خود برایشان مهم است که اگر بابت حل‌کردن مسئله‌ای بهشان پول بدهند هم قبول نمی‌کنند. دنیای عجیبی است. عجیب‌تر آنکه جاهایی وجود دارد که بابت حل‌کردن مسائل ریاضی به دانشمندها پول می‌دهند در ادامه موسسه «کلی» را بیشتر می‌شناسیم و با دو جایزه معتبر دیگر آشنا می‌شویم.

کِلِی

کِلِی یک موسسه‌ پژوهشی در زمینه‌ ریاضیات است که «لندون کلی»، بازرگان آمریکایی آن را برای پشتیبانی مالی از پژوهشگران ریاضی تأسیس کرده‌ است. این موسسه در ابتدای هزاره‌ سوم میلادی، فهرست هفت‌تایی از مسئله‌های ریاضی را منتشر کرد. این هفت مسئله که به مسئله‌های «ملینیوم» معروف‌اند، از مشکل‌ترین مسئله‌های ریاضی هستند. «مریم میرزاخانی» سال ۲۰۱۴ موفق شد جایزه تحقیقاتی این موسسه را دریافت کند.

ابل

جایزه «ابل» از سوی پادشاه نروژ به ریاضی‌دانان برجسته اعطا می‌شود. سال ۲۰۰۱ دولت نروژ اعلام کرد به‌ مناسبت بزرگداشت دویستمین سالگرد تولد ریاضیدان نروژی، «نیلز هنریک ابل» برای تبلیغ دانش ریاضیات و ایجاد علاقه به آن در میان مردم، به‌ویژه جوانان، جایزه جدیدی در نظر گرفته‌ است. مبلغ این جایزه شش میلیون کرون سوئد (حدود یک‌ میلیون دلار آمریکا) اعلام شد.

فیلدز

«فیلدز» اعتبار و ارزش معنوی بیشتر اما ارزش مادی کمتری دارد. این جایزه  مدالی است در رشته ریاضیات، هم تراز نوبل که هر چهار سال یکبار به دانشمندان کمتر از ۴۰ سالی اهدا می‌‏شود که کار ارزنده‌ای در ریاضیات انجام داده‌ باشند. بنابراین برندگان مدال فیلدز، دانشمندان جوانی هستند که در آینده کارهای بزرگ‌تری هم خواهند کرد. این مدال که سکه‌ای طلایی منقوش به نیمرخ ارشمیدس به همراه ۱۵ هزار دلار کاناداست، تا امروز به دو دانشمند زن تعلق گرفته‌است؛ اولین‌ بار در سال ۲۰۱۴، «مریم میرزاخانی» و دومین‌ بار، امسال به یک ریاضی‌دان زن اوکراینی‌ به‌ نام «مارینا ویازوفسکا».